【B站首发】2025年最新草履虫都能看懂的【傅里叶变换】讲解，清华大学李永乐老师教你如何理解傅里叶变换，辨清美颜和变声原理！！！傅里叶|人工智能|数学|机器学习_哔哩哔哩_bilibili
傅里叶级数：周期性函数分解为一系列正弦函数 时域 =》频率、振幅、相位
傅里叶变换 傅里叶变换是一种数学工具，用于将信号（如声音、图像、电磁波等）从时域（时间/空间维度）转换到频域（频率维度），揭示信号中不同频率成分的强度。
核心思想：任何复杂信号都可以分解为多个简单正弦波的叠加。
核心公式与分类**
1. 连续傅里叶变换（CFT）
- 适用对象：连续时间信号
- 公式：
$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt $$ - 逆变换：
$$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega $$
2. 离散傅里叶变换（DFT）
- 适用对象：离散时间信号（如数字信号）
- 公式：
$$ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \quad (k=0,1,…,N-1) $$
3. 快速傅里叶变换（FFT）
- 本质：DFT的高效算法（计算复杂度从 (O(N^2)) 降低到 (O(N\log N))），现代数字信号处理的核心工具。
- 应用场景：音频处理、图像压缩（如JPEG）、通信系统等。
短时傅里叶变换（STFT）
对信号加窗分段，分析局部频域特性（用于时频分析，如语谱图）。
图像：低频轮廓，高频细节
# 傅立叶变换 相应操作
# 得到频域上的图像，其幅值、相位
# 变换再逆变换得到原图
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread('flag4_flag10.png', 0) # 直接读为灰度图像
f = np.fft.fft2(img)# 二维FFT
fshift = np.fft.fftshift(f)# 将低频移到中心
# 取绝对值.：将复数变化成实数
# 取对数的目的为了将数据变化到较小的范围（比如0-255）
c1 = np.log(np.abs(f)) # 频域后图像的振幅信息
c2 = np.log(np.abs(fshift)) # 中心化操作
ph_f = np.angle(f) # 图像上每个像素点对应的相位图
ph_fshift = np.angle(fshift) # 中心化操作
# 逆变换
f0shift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = np.fft.ifft2(f0shift)
img_back = np.abs(img_back) # 出来的是复数，无法显示
# 逆变换--取绝对值就是振幅
f1shift = np.fft.ifftshift(np.abs(fshift))
img_back1 = np.fft.ifft2(f1shift)
img_back1 = np.abs(img_back1)
img_back1 = (img_back1-np.amin(img_back1))/(np.amax(img_back1)-np.amin(img_back1))
# 逆变换--取相位
f2shift = np.fft.ifftshift(np.angle(fshift))
img_back2 = np.fft.ifft2(f2shift)
# 出来的是复数，无法显示
img_back2 = np.abs(img_back2)
# 调整大小范围便于显示
img_back2 = (img_back2-np.amin(img_back2))/(np.amax(img_back2)-np.amin(img_back2))
# 逆变换--两者合成
s1 = np.abs(fshift) # 取振幅
s1_angle = np.angle(fshift) # 取相位
s1_real = s1*np.cos(s1_angle) # 取实部
s1_imag = s1*np.sin(s1_angle) # 取虚部
s2 = np.zeros(img.shape, dtype=complex)
s2.real = np.array(s1_real) # 重新赋值s1给s2
s2.imag = np.array(s1_imag)
f3shift = np.fft.ifftshift(s2) # 对新的进行逆变换
img_back3 = np.fft.ifft2(f3shift)
# 出来的是复数，无法显示
img_back3 = np.abs(img_back3)
# 调整大小范围便于显示
img_back3 = (img_back3-np.amin(img_back3))/(np.amax(img_back3)-np.amin(img_back3))
plt.subplot(421), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('original')
plt.subplot(422), plt.imshow(c1, 'gray'), plt.title('Amplitude')
plt.subplot(423), plt.imshow(c2, 'gray'), plt.title('center')
plt.subplot(424), plt.imshow(ph_f, 'gray'), plt.title('phases')
plt.subplot(425), plt.imshow(img_back, 'gray'), plt.title('img_back')
plt.show()